教材アーカイブス/算数・数学/問題/幾何/対称性/タイル貼り001/解答例
解答例
ある点の周りに正 $n$ 角形 が $m$ 枚あったとする。
多角形の頂角の大きさは $180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{n}$ であるから、 $$(180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{n}) \times m = 360^{\circ}$$
だから、
$\frac{2}{n} + \frac{2}{m} = 1$。
書き直して、
$ 2 m + 2 n = m n$。
さらに書き直して、 $$ (m - 2)(n - 2) = 4 $$
$m$ も $n$ も正の整数だから、 $$(m, n) = (3, 6), (4, 4), (6, 3)$$
したがって頂点の周りに貼ることができる貼り方は、
- 正3角形を6枚
- 正方形を4枚
- 正6角形を3枚
の3通りとなる。
上は数式で示したが、そんなことする前に原始的に紙とはさみで「切りきり貼りはり」してみればよい。