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解答例  

解答図.png

$\triangle ABC$ に辺 $AB$ を軸として折り返した$\triangle ABC^{\prime}$ と辺 $AC$ を軸として折り返した$\triangle AB^{\prime}C$ とを書き加える。 おなじく点 $U$ が移った点をそれぞれ $U^\prime$、$U^{\prime\prime}$ とする。

折れ線 $U^{\prime}WVU^{\prime\prime}$ の長さが $\triangle UVW$ の3辺の長さの和と一致することは明らか。 だから、折れ線 $U^{\prime}WVU^{\prime\prime}$ の長さは2点 $V$、$W$ を線分 $U^{\prime}U^{\prime\prime}$ 上にとることで短くできる。

ところでこのようにしてできた $\triangle AU^{\prime}U^{\prime\prime}$ は頂角 $\angle U^{\prime}AU^{\prime\prime} = 2 \times \angle A = 一定$ の二等辺三角形である。 このことは、点 $U$ の位置を変えても常に相似な二等辺三角形であることを示す。

したがって線分 $U^{\prime}U^{\prime\prime}$ の長さを最短にしたければ、線分 $AU$ が最も短くなるように点 $U$ をとれば良い。

これを満たす点 $U$ は点 $A$ から辺 $BC$ におろした垂線の足である。

点 $V$ も点 $W$ も同様に頂点から対応する辺におろした垂線の足であることがわかる。


さて、この解法から点 $U$ の周りの角度について面白いことがわかる。 $\angle WUB = \angle VUC $。 他の点 $V$、$W$でも同様。

この関係は光の性質の一つ入射角と反射角の関係と呼ばれるもの。 $\triangle ABC$ の辺を鏡だとすると、点 $W$ から点 $U$ に向かって放たれた光は点 $U$ で反射して点 $V$ に向かう。 このとき、点 $U$ に当たる時の角度が点 $U$ を出る時の角度に等しい。

ということは、光の経路上にある3点 $U$、$V$、$W$が上で求めた三角形の頂点であれば、光はいつまでもグルグルとこの経路を回るはずです。

またこの角度の関係を物体の運動(例えば、ビリヤードの玉)にあてはめることもできます。 $\triangle ABC$ をビリヤード台だとすると、壁で摩擦なしに衝突するならば、ビリヤードの玉がやはりこの $\triangle UVW$ 上をぐるぐる回ることになります。


$\triangle ABC$ は鋭角三角形と条件がついていました。鈍角三角形ならどうなるでしょう?


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Last-modified: 2017-12-26 (火) 12:37:21 (1362d)