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#author("2016-09-23T10:29:30+09:00","default:editor","editor")
*解答例 [#z566735f]

ある点の周りに正 $n$ 角形 を $m$ 枚貼りつけることができたとする。
多角形の頂角の大きさは $180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{n}$ であるから、

$(180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{n}) \times m = 360^{\circ}$。

だから、

$\frac{2}{n} + \frac{2}{m} = 1$。

書き直して、

$ 2 m + 2 n = m n$。

よって、

$ (m - 2)(n - 2) = 4 $。

$m$ も $n$ も正の整数だから、

$(m, n) = (3, 6), (4, 4), (6, 3)$。

したがって頂点の周りに貼ることができる貼り方は、
-正3角形を6枚
-正方形を4枚
-正6角形を3枚

の3通りとなる。