#author("2016-10-13T19:00:02+09:00","default:editor","editor")
*解答例 [#x246a1c7]
$AP : BP = \mu : 1$ ($\mu > 1$) とする。
点 $P$ を中心として半径 $BP$ の円を書き、この円と直線 $AP$ との交点を $P_{1}$、$P_{2}$ とおく(図)。
#ref(./解答図.png,250x250)
点 $P$ から辺 $P_{1}B$ に下ろした垂線と直線 $AB$ との交点を $C$、同じく辺 $P_{2}B$ に下ろした垂線と直線 $AB$ との交点を $D$ とする。
すると、$PC \parallel P_{2}B$、$PD \parallel P_{1}B$ であることがわかる。
$\triangle APC$ ∽ $\triangle AP_{2}B$だから、
$$AC : AB = \mu : \mu + 1$$
同様に、
$$AB : AD = \mu - 1 : \mu$$
よって、2点 $C$、$D$ は定点である。
各点の定め方から、$\angle CPD$ は直角だから、点 $P$ は2点 $C$、$D$ を直径の両端とする円周上にあることがわかる。
この円の中心 $O$ は点 $A$ から $AO = \frac{\mu^2}{\mu^2 - 1}\times AB$ の位置にあり、半径は $\frac{\mu}{\mu^2 - 1}\times AB$ である。
#hr
比の話だから相似な三角形が登場するかもしれない、と期待しつつ考えてみるとよいでしょう。
なお、空間内であれば球になりますね。
さて、上によって得られたアポロニウスの円の半径を $k = \frac{\mu}{\mu^2 - 1} \times AB$ としよう。
$OB = \frac{1}{\mu^2 - 1} \times AB$ だから、
$$OA \cdot OB = ( \frac{\mu^2}{\mu^2 - 1}\times AB ) \times ( \frac{1}{\mu^2 - 1} \times AB ) = k^2$$
つまり、2点 $A$ と $B$ はアポロニウスの円による反転で結びつけられることがわかる。
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