#author("2016-09-13T19:41:27+09:00","default:editor","editor")
*解答例 [#w7322bb8]
下図にあるように、2つの三角形 $\triangle AEC$ と $\triangle ADB$ にそれぞれの外接円を書き示す。
それぞれの半径を $R$、$r$ とする。
また $\angle DEC = \theta $ と表しておく。
以上の準備から代数的に解くことにしよう。
&ref(./解答例.png,400x400);
まず明白な関係を列記する。
- $AB = AC$
- $\angle EBD = 30^{\circ}$
- $\angle DCE = 20^{\circ}$
- $AE = EC$ ($\triangle AEC$ は二等辺三角形だから)
- $CD = BC$ ($\triangle CBD$ は二等辺三角形だから)
次に三角形と円の間の大事な関係を見出そう。
正弦定理を使えば、
- $AC = 2R\sin(40^{\circ})$
- $AB = 2r\sin(50^{\circ})$
- $AE = 2R\sin(20^{\circ})$
- $AD = 2r\sin(30^{\circ})$
余弦定理から、
- $ED^2 = AE^2 + AD^2 -2AE \cdot AD \cos(20^{\circ})$
また
- $CD = AC - AD$
であるから、以上によって得られた式と次の関係
- $ED / \sin(20^{\circ}) = CD / \sin(\theta) $
(※ $\triangle EDC$ に正弦定理を適用した)
から、
$$\theta = 30^{\circ}$$
となることがわかる。
なお、値を得るにあたって、三角関数に関わるいくつかの公式、例えば倍角公式、3倍角の公式を使った。注意せよ。
#hr
図形の問題では、むかしから言われていることだが、補助線、補助図形をいろいろと書いて試行錯誤すること。
三角形の問題では、特に円との関係にも気を配りなさい。
どこかに円が隠れていないか、探してみるとよい。
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