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解答例  

下図にあるように、2つの三角形 $\triangle AEC$ と $\triangle ADB$ にそれぞれの外接円を書き加える。 それぞれの半径を $R$、$r$ とする。 また $\angle DEC = \theta $ と表しておく。 以上の準備から代数的に解くことにしよう。

解答例.png

まず明白な関係を列記する。

  • $AB = AC$
  • $\angle EBD = 30^{\circ}$
  • $\angle DCE = 20^{\circ}$
  • $AE = EC$ ($\triangle AEC$ が二等辺三角形だから)
  • $CD = BC$ ($\triangle CBD$ が二等辺三角形だから)

次に三角形と円の間の大事な関係を見出そう。 正弦定理を使えば、

  • $AC = 2R\sin(40^{\circ})$
  • $AB = 2r\sin(50^{\circ})$
  • $AE = 2R\sin(20^{\circ})$
  • $AD = 2r\sin(30^{\circ})$

ここで関係$\sin(\theta) = \sin(180^{\circ}-\theta)$を使っている。

$\triangle EDC$ に余弦定理をあてはめて、

  • $ED^2 = AE^2 + AD^2 -2AE \cdot AD \cos(20^{\circ})$

また

  • $CD = AC - AD$

であるから、以上によって得られた式と次の関係

  • $ED / \sin(20^{\circ}) = CD / \sin(\theta) $

(※ おなじく$\triangle EDC$ に正弦定理を適用した)

から、

$\theta = 30^{\circ}$

となることがわかる。 なお、値を得るにあたって、さらに三角関数に関わるいくつかの公式、例えば倍角公式、3倍角の公式を使った。注意せよ。


今回の解法では二つの円を追加したことが見通しをよくした。 このように三角形の問題では円が使えないか検討することも大事である。


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Last-modified: 2016-09-17 (土) 15:28:10 (1837d)