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• 教材アーカイブス/算数・数学/問題/幾何/三角形/三平方の定理/解答例2 へ行く。
  • 1 (2016-09-17 (土) 15:15:31)

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#author("2016-09-17T15:15:14+09:00","default:editor","editor")
#author("2016-09-17T17:49:07+09:00","default:editor","editor")
*証明例 [#ze7ba514]

直角三角形を4つ、図のように組み合わせて1辺の長さが $c$ の正方形を作る。
その中に1辺の長さが $b - a$ の正方形の穴がある。
図のように直角三角形の頂点に記号をつける。
また頂点 $C$ から辺 $AB$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。

&ref(./解答図2.png,200x200);

図形の面積を調べると、
面積について明らかに

$ 4 \times \frac{1}{2} a b = c^2 - ( b -a )^2$
$\triangle ABC = \triangle AHC + \triangle HBC$ 

相似比から、

$\frac{\triangle ABC}{AB^2} = \frac{\triangle AHC}{AC^2} = \frac{\triangle HBC}{BC^2}$ 

これを解いて題意の関係が求められる。

#hr
有名どころのものです。
H.S.M コクセターの「幾何学入門」(上)(ちくま学芸文庫)にもあります。