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#author("2020-11-17T19:28:14+09:00","default:editor","editor")
#author("2020-11-17T19:40:57+09:00","default:editor","editor")
*証明例 [#xe9ce356]
ヒント程度で...
これもヒント程度で...
まず一般の三角形について図を書いておきましょう。
線分$BC$と角$A$の大きさは固定して考えましょう。
&ref(./A1.png,200x200);
すると、点$A$は三角形$ABC$の外接円の周上にある。
2つの角の二等分線にはそれぞれ色を付けておきましょう。赤と青。
&ref(./A6.png,400x400);
この三角形に合同な三角形を(赤線と青線つきで)さらに3つ用意して、うち2つは$180^{\circ}$回転させておきましょう。
点$C$を通って、直線$BD$に平行な直線と直線$AB$との交点を点$G$としましょう。
同様に、点$B$を通って、直線$CE$に平行な直線と直線$AC$との交点を点$H$としましょう。
これらを組み合わせて、赤線と青線を辺にもつ平行四辺形を作ります(次の図のグレー)。
すると、線分$BD$の長さは、
$$BD = 2 BC \cos(\frac{\angle B}{2}) \times \frac{AB}{AB+BC}$$
&ref(./A2.png,200x200);
同様に、線分$CE$の長さは、
$$CE = 2 BC \cos(\frac{\angle C}{2}) \times \frac{AC}{AC+BC}$$
もし$BD = CE$、つまり赤辺と青辺の長さが等しければ平行四辺形は菱形。
このとき、あきらかに角〇と角△は等しい。
点$A$を動かしてみましょう。
つまり、
$\angle B > \angle C$ のときは、$AB < AC$ で、$$BD<CE$$
$\angle ABC = \angle ACB$
もちろん、$\angle B = \angle C$ のときは、$AB = AC$となるから、$$BD = CE$$
したがって、
$\triangle ABC$ は二等辺三角形になるから
$AB = AC$
#hr
えらい直感的。
これも直感的。
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