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#author("2018-08-09T15:32:20+09:00","default:editor","editor")
#author("2018-08-09T17:35:08+09:00","default:editor","editor")
*証明例 [#xe9ce356]
対偶の作戦でもとるか。
頂角の2等分線が対辺をどのように分割するか、
[[こちら (>>) >教材アーカイブス/算数・数学/問題/幾何/三角形/三角形009]] をつかってみるか。
$BD$ と $CE$ の交点を$H$とする。
&ref(./Q.png,300x300);
直線 $AH$ は $\angle A$ の二等分線。これを鏡映線として $\triangle ABC$ 他図形全体の鏡映をとる。
まず、$AD : DC = AB : BC$ 。
&ref(./A3.png,300x300);
鏡映点の名前は対応点の名前に $'$ を付けたものとしておこう。
着目すべき3角形に色をつけてみた。
すると、$AD = \frac{AB \times AC}{BC + AB}$ 。
$\angle B \neq \angle C$ のとき、
図のように $\angle B \gt \angle C$ としてよい。
同じく、
赤い三角形から、$BD = B'H + HD$
$AE = \frac{AB \times AC}{BC + AC}$ 。
青い三角形から、$CE = CH + HE'$
すると、$AE = AD$ なら $AB = AC$。
であきらかに $CE \gt BD$。
したがって、2つの三角形 $\triangle ABD$ と $\triangle ACE$ は合同 (2辺狭角)。
つまり$\angle B \neq \angle C$ なら $CE \neq BD$
よって$BD = CE$
そして、$\angle B = \angle C$ なら$CE = BD$ はあきらか。
$AE \neq AD$ なら $AB \neq AC$ で $BD \neq CE$。
だから、逆をとってもいいし、対偶をとってもいいし。
結局、$BD = CE$ なら $\triangle ABD \equiv \triangle ACE$ となって $AB = AC$。
#hr
[PS.]鏡映をとってみました。論理を使ってるから、中学生には酷かな。やってないはずはないけど。
ちなみに元の命題とその対偶命題とは真偽が一緒です。
逆を行く場合は、真偽はすぐには確定しません。でも排他的ですから、こちらも明らかです。
この間までの答え間違ってたからやり直し。あぁ恥ずかし。
学習塾 ソアラ