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#author("2018-08-06T17:05:48+09:00","default:editor","editor")
*証明例 [#ue5ee1ee]
#author("2018-08-10T12:51:00+09:00","default:editor","editor")
*証明例 [#xe9ce356]
頂角の2等分線が対辺をどのように分割するか、
[[こちら (>>) >教材アーカイブス/算数・数学/問題/幾何/三角形/三角形009]] をつかってみるか。
$\triangle EBC$ と $\triangle DBC$ に着目する。
いま $BD = CE$ であるから、$\triangle EBC$ を動かし辺 $EC$ を $\triangle DBC$ の辺 $BD$ に重ねることができる(図)。
重ねた後の $\triangle EBC$ を $\triangle BB'D$ と表そう。
&ref(./Q.png,300x300);
&ref(./A1.png,300x300);
まず、$AD : DC = AB : BC$ 。
四角形 $B'BCD$ について考える。
すると、$AD = \frac{AB \times AC}{BC + AB}$ 。
$\angle B'BC = \angle B'BD + \angle DBC = \pi - \frac{1}{2}\angle B - \frac{1}{2}\angle C$。
同じく、
また、
$\angle B'DC = \angle B'DB + \angle BDC = \pi - \frac{1}{2}\angle B - \frac{1}{2}\angle C$。
$AE = \frac{AB \times AC}{BC + AC}$ 。
$\angle B'BC = \angle B'DC$ だから$\angle B = \angle C$ なら、$\angle BEC = \angle BDC $。
だから、$AE = AD \iff AB = AC$。
このとき四角形 $B'BCD$ は菱形であることがわかるから、$B'B(=BE) = CD$。
したがって、$AE = AD$ なら、2つの三角形 $\triangle ABD$ と $\triangle ACE$ は合同 (2辺狭角)で
つぎに $\triangle AEC$ と $\triangle ADB$ に着目する。
これまでに求めたことから、これら2つの3角形は合同。
だから $AE = AD$。
$BD = CE$
したがって、
$$AB = AE + EB = AD + DC =AC$$
$AE \neq AD$ なら $\triangle ABD$ と $\triangle ACE$ は合同ではないので $BD \neq CE$。
結局、$BD = CE$ なら $AB = AC$。
#hr
[PS.]この解答なら中学生レベルになりますかね。
でも図形を切り貼りするのは発想力が要りますから、やはり難しい問題と言えるでしょう。
あ?! 図が問題の図と少し形が異なりますね。
まぁ、気にしない。気にしない。
学習塾 ソアラ