学習塾 ソアラ: 八王子 恩方地区(西寺方、上恩方、下恩方、小津町、川町)にある少人数個別指導学習塾
トップページ > 教材アーカイブス > 算数・数学 > 問題 > 幾何 > 三角形 > 5心003 > 解答例

証明例  

$\triangle ABC$ の頂点 $B$ から中線を引き、対辺 $CA$ との交点を $Q$ とする。 同じく、頂点 $C$ から中線を引き、対辺 $AB$ との交点を $R$ とする。 直線 $BQ$ と $CR$ の交点を $G$ とする(図)。

解答図.png

直線 $AG$ もまた中線であることを示す。

線分 $BG$ の中点を $S$、線分 $CG$ の中点を $T$ とすると、四角形 $QRST$ は平行四辺形である。

だから、$SG = GQ$。

さらに $\triangle ABG$ と $\triangle RBS$ は相似であるから、$BS = \frac{1}{2} BG$。

したがって、$BG:GQ = 2:1$。

すなわち、$G$ は線分 $BQ$ を $2:1$ に内分する点である。 同様に、$G$ は線分 $CR$ を $2:1$ に内分する点でもある。

次に、線分 $AG$ は線分 $RS$ に平行であることがわかる。 線分 $AG$ を延長して、辺 $BC$ と交わる点を $P$、線分 $RS$ を延長して、辺 $BC$ と交わる点を $P'$ とすると、 $BP' = P'P = \frac{1}{2} ST$。

同様にして、結局、点 $P$ は辺 $BC$ の中点であることがわかる。


添付ファイル: file解答図.png 174件 [詳細]

Last-modified: 2016-09-23 (金) 19:42:59 (1821d)