#author("2016-09-23T19:42:36+09:00","default:editor","editor")
#author("2016-09-23T19:42:59+09:00","default:editor","editor")
*証明例 [#k6a7fb2e]
$\triangle ABC$ の頂点 $B$ から中線を引き、対辺 $CA$ との交点を $Q$ とする。
同じく、頂点 $C$ から中線を引き、対辺 $AB$ との交点を $R$ とする。
直線 $BQ$ と $CR$ の交点を $G$ とする(図)。
#ref(./解答図.png,200x200)
直線 $AG$ もまた中線であることを示す。
線分 $BG$ の中点を $S$、線分 $CG$ の中点を $T$ とすると、四角形 $QRST$ は平行四辺形である。
だから、$SG = GQ$。
さらに $\triangle ABG$ と $\triangle RBS$ は相似であるから、$BS = \frac{1}{2}BG$。
さらに $\triangle ABG$ と $\triangle RBS$ は相似であるから、$BS = \frac{1}{2} BG$。
したがって、$BG:GQ = 2:1$。
すなわち、$G$ は線分 $BQ$ を $2:1$ に内分する点である。
同様に、$G$ は線分 $CR$ を $2:1$ に内分する点でもある。
次に、線分 $AG$ は線分 $RS$ に平行であることがわかる。
線分 $AG$ を延長して、辺 $BC$ と交わる点を $P$、線分 $RS$ を延長して、辺 $BC$ と交わる点を $P'$ とすると、
$BP' = P'P = \frac{1}{2}ST$。
$BP' = P'P = \frac{1}{2} ST$。
同様にして、結局、点 $P$ は辺 $BC$ の中点であることがわかる。
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