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#author("2020-07-16T13:41:17+09:00","default:editor","editor")
#author("2020-07-16T14:03:57+09:00","default:editor","editor")
*解答例 [#x246a1c7]
$AP : BP = \mu : 1$ ($\mu > 1$) とする。
$AP = \mu BP$。
角$APB$の内角および外角の2等分線をひく。
これらの直線と直線$AB$との交点をそれぞれ、点 $C$ および 点 $D$ とする(図)。
#ref(./解答図.png,500x500)
これらの2点を直径の両端とする円が求める軌跡である。
これを二乗して、
$AP^2 = \mu^2 BP^2$。
以下、そのことを示す。
これを、
$\vec{AP}^2 = \mu^2 \vec{BP}^2$
と見ると、
点 $P$ を中心として半径 $BP$ の円を書き、この円と直線 $AP$ との交点を $P_{1}$、$P_{2}$ とおく。
すると、$PC \parallel P_{1}B$、$PD \parallel P_{2}B$ であることがわかる。
$$(\vec{OP} - \vec{OA})^2 = \mu^2 (\vec{OP} - \vec{OB})^2$$
すると、
$\triangle APC$ ∽ $\triangle AP_{2}B$だから、
$$AC : AB = \mu : \mu + 1$$
同様に、
$$AB : AD = \mu - 1 : \mu$$
よって、2点 $C$、$D$ は点 $P$ の位置によらず、定点である。
$$(\vec{OP} - \frac{\vec{OA} + \mu \vec{OB}}{\mu + 1})(\vec{OP} - \frac{-\vec{OA} + \mu \vec{OB}}{\mu - 1}) = 0$$
各点の定め方から、$\angle CPD$ は直角だから、点 $P$ は2点 $C$、$D$ を直径の両端とする円周上にあることがわかる。
この円の中心 $O$ は点 $A$ から $AO = \frac{\mu^2}{\mu^2 - 1}\times AB$ の位置にあり、半径は $\frac{\mu}{\mu^2 - 1}\times AB$ である。
ここに出て来た、二つのベクトルを、
$$\vec{OC} = \frac{\vec{OA} + \mu \vec{OB}}{\mu + 1}$$
$$\vec{OD} = \frac{-\vec{OA} + \mu \vec{OB}}{\mu - 1}$$
とすれば、どちらも点 $P$ の位置によらない定ベクトルであることが分かる。
#hr
比の話だから相似な三角形が登場するかもしれない、と期待しつつ考えてみるとよいでしょう。
そして、
$$\vec{CP} \cdot \vec{DP} = 0$$
であるから、
なお、空間内であれば球になりますね。
図中の線分 $CP$と線分 $DP$は直交。
さて、上によって得られたアポロニウスの円の半径を $k = \frac{\mu}{\mu^2 - 1} \times AB$ としよう。
$OB = \frac{1}{\mu^2 - 1} \times AB$ だから、
$$OA \cdot OB = ( \frac{\mu^2}{\mu^2 - 1}\times AB ) \times ( \frac{1}{\mu^2 - 1} \times AB ) = k^2$$
つまり、もともとの2点 $A$ と $B$ はアポロニウスの円による反転で結びつけられる。
つまり、点$P$は2点 $C$ と $D$ を両端とするアポロニウスの円の周上にあることがわかる(図の赤い円)。
もうひとつ。
さて、
$OB / OP = OP / OA$
だから、$\triangle OPB$ ∽ $\triangle OAP$
であることもわかる。
$$\vec{OC} = \vec{OA} + \frac{\mu}{\mu + 1} \vec{AB}$$
$$\vec{OD} = \vec{OA} + \frac{\mu}{\mu - 1} \vec{AB}$$
であるから、点 $O$ をこの円の中心におくと、半径 $k$ は、
$$k = \frac{\mu}{\mu^2 - 1} \times AB$$
また、
$$OA = \frac{\mu^2}{\mu^2 - 1} \times AB$$
$$OB = \frac{1}{\mu^2 - 1} \times AB$$
$$OA \times OB = ( \frac{\mu^2}{\mu^2 - 1}\times AB ) \times ( \frac{1}{\mu^2 - 1} \times AB ) = k^2$$
つまり、もともとの2点 $A$ と $B$ はアポロニウスの円による反転で結びつけられる。
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