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#author("2016-09-14T16:47:26+09:00","default:editor","editor")
*証明の例 [#q31a4111]
#author("2016-09-15T15:13:02+09:00","default:editor","editor")
*証明例 [#q31a4111]
$\triangle ABD$ と $\triangle ACE$ に着目する。
対応する二つの辺 $BD$ と $CE$ について、$BD = CE$ で、それぞれに相対する角 $\angle A$ は共有であるから、''正弦定理''により2つの三角形の外接円の直径は互いに等しい。
そこで図のように、2つの三角形を重ね同一円に内接させる(図は $\angle ABD \ne \angle ACE$ としたもの)。
なお、$\triangle ACE$ の頂点 $A$ は $A'$ とした。
&ref(./解答図1.png,200x200);
なお、$\triangle ACE$ の頂点 $A$ は $A'$ と名付けておく。
こうすると、$\angle ABD = \angle A'CE$、すなわち $\angle B = \angle C$ ならば $A'C = AB$ であるのは明らかである。
(※ 最後の省略した部分をきちんとしたいなら、もう一度正弦定理を使っても良いし、三角形の合同条件を使って示してもよい)
#hr
図形の問題では、''補助線''を引いて考える、は鉄板の策です。
直線を加えて、あーでもない、こーでもない、と考えるわけです。
もちろん、どのような直線を引くかはあなた次第ですが。
その他に、別の図形を加えてみるのも有効な手です。
特に三角形の問題には、円とからませる、というもう一つの重要な策があります。
特に三角形には円と組み合わせる、というもう一つの鉄板策があります。
学校の授業でも''円と三角形の関係''を学んだことでしょう。
重宝する道具たちです。
[PS.]この解答は、正弦定理を使っているから、高校生レベルですかね。
さて、さまざまな解答が考えられます。
座標を与えて解析的に解く方法、
代数的に解く方法としても、この解答のように円と組み合わせる方法、
あるいは補助線を使う方法、
などなど...。
いろいろと考えてみましょう。
どのような解答を選ぶか、書くか、にあなたの個性(センス)が現れます。
[PS.]この解答は、正弦定理を使っているから高校生レベルですかね。
中学生レベルにしたらどうするのだろう?
計算につぐ計算で、腕力勝負といったところだろうか。
学習塾 ソアラ