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#author("2016-09-13T17:17:21+09:00","default:editor","editor")
*シュタイナー・レームスの定理の証明 [#q31a4111]
#author("2018-01-29T20:57:31+09:00","default:editor","editor")
*証明例 [#xe9ce356]
対偶の作戦でもとるか。
$\triangle ABD$ と $\triangle ACE$ に着目する。
対応する二つの辺 $BD$ と $CE$ について、$BD = CE$ で、それぞれに相対する角 $\angle A$ は共有であるから、''正弦定理''により2つの三角形の外接円の直径は互いに等しい。
$BD$ と $CE$ の交点を$H$とする。
そこで図のように、2つの三角形を重ね同一円に内接させる(図は $\angle ABD \ne \angle A^{'}CE$ としたもの)。
直線 $AH$ は $\angle A$ の二等分線。これを鏡映線として $\triangle ABC$ 他図形全体の鏡映をとる。
&ref(./解答図1.png,200x200);
&ref(./A3.png,300x300);
鏡映点の名前は対応点の名前に $'$ を付けたものとしておこう。
着目すべき3角形に色をつけてみた。
なお、$\triangle ACE$ の頂点 $A$ は $A^{'}$ と名付けておく。
こうすると、$\angle ABD = \angle A^{'}CE$、すなわち $\angle B = \angle C$ ならば $A^{'}C = AB$ であるのは明らかである。
$\angle B \neq \angle C$ のとき、
図のように $\angle B \gt \angle C$ としてよい。
(※ 最後の省略した部分をきちんとしたいなら、もう一度正弦定理を使っても良いし、三角形の合同条件を使って示してもよい)
赤い三角形から、$BD = B'H + HD$
青い三角形から、$CE = CH + HE'$
であきらかに $CE \gt BD$。
つまり$\angle B \neq \angle C$ なら $CE \neq BD$
そして、$\angle B = \angle C$ なら$CE = BD$ はあきらか。
だから、逆をとってもいいし、対偶をとってもいいし。
#hr
図形の問題では、''補助線''を引いて考える、という策があります。
直線を加えて、あーでもない、こーでもない、と考えるわけです。
その他に、別の図形を加えてみるのも有効な手です。
特に三角形は円とからませると重要な手がかりを得ることができることがあります。
学校の授業でも''円と三角形の関係''を学んだことでしょう。
重宝する道具たちです。
[PS.]鏡映をとってみました。論理を使ってるから、中学生には酷かな。やってないはずはないけど。
[PS.]この解答は、正弦定理を使っているから、高校生レベルですかね。
中学生レベルにしたらどうするのだろう?
ちなみに元の命題とその対偶命題とは真偽が一緒です。
逆を行く場合は、真偽はすぐには確定しません。でも排他的ですから、こちらも明らかです。
この間までの答え間違ってたからやり直し。あぁ恥ずかし。
学習塾 ソアラ