#author("2016-09-13T13:42:24+09:00","default:editor","editor")
*[[シュタイナー・レームスの定理>../]]の証明 [#q31a4111]
$\Delta ABD$ と $\Delta ACE$ に着目する。
対応する二つの辺 $BD$ と $CE$ について、$BD = CE$ で、それぞれに相対する角 $\angle A$ は共有であるから、''正弦定理''により2つの三角形の外接円の直径は互いに等しい。
そこで図のように、2つの三角形を重ね同一円に内接させる(図は $\angle ABD \ne \angle A^{'}CE$ としたもの)。
&ref(./解答図1.png,200x200);
なお、$\Delta ACE$ の頂点 $A$ は $A^{'}$ と名付けておく。
こうすると、$\angle ABD = \angle A^{'}CE$、すなわち $\angle B = \angle C$ ならば $AC = AB$ であるのは明らかである。
(※ 最後の省略した部分をきちんとしたいなら、もう一度正弦定理を使っても良いし、三角形の合同条件を使って示してもよい)
#hr
図形の問題では、''補助線''を引いて考える、という策があります。
直線を加えて、あーでもない、こーでもない、と考えるわけです。
その他に、別の図形を加えてみるのも有効な手です。
特に三角形は円とからませると重要な手がかりを得ることができることがあります。
学校の授業でも''円と三角形の関係''を学んだことでしょう。
重宝する道具たちです。
[PS.]この解答は、正弦定理を使っているから、高校生レベルですかね。
中学生レベルにしたらどうするのだろう?
学習塾 ソアラ