解答例†

解答図.png

半径 $r$ の円の円周(外縁)に沿って非常に細いヒモ(幅 $\Delta r$)をきっちり1周分だけ巻く。 ヒモの長さを $L$ とする。

この状態で円の面積を考える。 元の円の面積 $S$ は $S = \pi r^2$ である。 ヒモを巻いたことにより面積は増えて、$S' = \pi ( r + \Delta r )^2$ になる。

面積が増えた分は追加したヒモの分だから、ヒモによる面積の増加分は $S' - S = L \Delta r $。

ところで、

$S' - S = \pi ( r + \Delta r )^2 - \pi r^2 = 2 \pi r \times \Delta r + \pi ( \Delta r )^2$

幅 $\Delta r$ は $r$ に比べて十分に細いことから、第2項の $\Delta r ^2$ を無視して

$ L = 2 \pi r $