証明例†

図のように直角三角形の頂点に記号をつける。 また頂点 $C$ から辺 $AB$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。

解答図2.png

面積について明らかに

$\triangle ABC = \triangle AHC + \triangle HBC$

相似比から、

$\frac{\triangle ABC}{AB^2} = \frac{\triangle AHC}{AC^2} = \frac{\triangle HBC}{BC^2}$

これを解いて題意の関係が求められる。

H.S.M コクセターの「幾何学入門」(上)(ちくま学芸文庫)にもあります。