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解答例  

解答図.png

円 $C$ 上の点 $P$ が点 $P'$ に移ったとしよう。 反転円 $I$ の半径を $k$ とすれば、 $OP \cdot OP' = k^2$。

図のように、円 $C$ 上のもう一つの点 $Q$、接点 $T$ についても用意しておこう。 すると、$\triangle CPQ$ を相似比 $\alpha$ 倍に拡大した $\triangle C'Q'P'$ を得ることができる。 $P$ と $Q$ の反転像はその並び順がひっくり返ることに注意。 これにより円 $C$ の反転像は中心 $C'$、半径 $C'T' = \alpha CT$ の円 $C'$ であることがわかる。

なお、相似比 $\alpha$ は $\alpha = (\frac{k}{OT})^2$ である。


この相似比は円 $C$ を不変にする反転円の半径 $OT$ と、問題となる反転円の半径 $k$ の比の二乗で与えられている。 二乗はともかく、特徴的な2円の半径が登場すること、しかもそれが比として現れるのは問いの性質をよく反映したものといえる。

円は反転によって円に移りますが、中心が中心に移ることは必ずしもありません。

さらに、直線を半径無限大の円と思えば条件を緩和できます。反転は円を円に移す、と簡単になります。

解答はいつものように大幅に省略してます。


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Last-modified: 2016-10-05 (水) 20:27:27 (1816d)