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シュタイナー・レームスの定理  

$\triangle ABC$ の角 $\angle B$、$\angle C$ の角の二等分線と辺 $AC$ 、$AB$ の交点をそれぞれ $D$、$E$ とする(図)。 $BD = CE$ ならば $AC = AB$ である。証明しなさい。

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原語では Steiner-Lehmus Theorem あるいは Lehmus' Theorem と書きます。 見てのとおり、三角形についての初等幾何の問題です。 問題が当たり前のように見えるものほど難しかったりしますが、 この問題はその一例と言えるのではないでしょうか。

ここでは例として解を3通りあげておきます。


この問題は、H.S.M コクセターの「幾何学入門」(上)(ちくま学芸文庫)の $\S 1.5$ 内接円と外接円 の終わりに掲載されてますね。 それと「大学への数学 問題はどう作られるのか」(東京出版)[*1]にもあるようです。

さて、さまざまな解答が考えられます。 座標を与えて解析的に解く方法、 代数的に解く方法としても、あるいは補助線を使う方法、 などなど...。 論理的には直接法に対偶をとるとか。

いろいろと考えてみましょう。 どのような解答を提出するか、にあなたの個性(センス、発想力、...)が現れます。


Tag: 教材 算数 数学 問題 幾何学 図形 二等辺三角形 三角形 中学 高校


*1 絶版

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Last-modified: 2020-11-17 (火) 19:41:40 (218d)